Forma General y características de las funciones trigonométricas  

Las funciones trigonométricas son las funciones derivadas de las razones trigonométricas de un ángulo. En general, el ángulo sobre el cual se calculan las razones trigonométricas se expresa en radianes.

El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

${\displaystyle \operatorname {sen} \alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {a}{h}}}$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo ${\displaystyle \alpha }$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {b}{h}}}$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}={\frac {a}{b}}}$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}{\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}}={\frac {b}{a}}}$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}={\frac {h}{b}}}$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}{\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}}={\frac {h}{a}}}$

Funciones trigonométricas de ángulo doble

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que ${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle \operatorname {sen} (\alpha +\beta )=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\operatorname {sen} \beta \cos \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {sen} 2\alpha =\operatorname {sen} \alpha \cos \alpha +\operatorname {sen} \alpha \cos \alpha =2\operatorname {sen} \alpha \cos \alpha }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta }$

${\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\operatorname {sen} ^{2}\alpha }$

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo ${\displaystyle \cos \alpha }$ a términos de ${\displaystyle \operatorname {sen} \alpha }$, o convirtiendo ${\displaystyle \operatorname {sen} \alpha }$ a términos de ${\displaystyle \cos \alpha }$:

${\displaystyle \cos 2\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1}$

${\displaystyle \cos 2\alpha =1-2\operatorname {sen} ^{2}\alpha }$

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}$

${\displaystyle \tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}}$

Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:

${\displaystyle \operatorname {sen} (A)\cos(B)=\operatorname {sen} \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)+\operatorname {sen} \left({\frac {A-B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {sen} (A)\cos(B)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {sen} (A+B)+\operatorname {sen} (A-B)\right)}$

Y para el caso alternativo:

${\displaystyle \cos(A)\operatorname {sen} (B)=\operatorname {sen} \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)-\operatorname {sen} \left({\frac {A-B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)}$

${\displaystyle \cos(A)\operatorname {sen} (B)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {sen} (A+B)-\operatorname {sen} (A-B)\right)}$

Definiciones analíticas

La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes).

${\displaystyle {\begin{cases}S'(x)=C(x)&S(0)=0\\C'(x)=-S(x)&C(0)=1\end{cases}}}$

El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

${\displaystyle \cos x=C(x),\qquad \operatorname {sen} x=S(x)}$

Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno.

Series de potencias[editar]

A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

${\displaystyle \operatorname {sen} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{k}\;x^{2k+1}}{(2k+1)!}}={\cfrac {x}{1!}}-{\cfrac {x^{3}}{3!}}+{\cfrac {x^{5}}{5!}}-{\cfrac {x^{7}}{7!}}\;\dots }$

${\displaystyle \cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{k}\;x^{2k}}{(2k)!}}={\cfrac {1}{0!}}-{\cfrac {x^{2}}{2!}}+{\cfrac {x^{4}}{4!}}-{\cfrac {x^{6}}{6!}}\;\dots }$

Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.

Relación con la exponencial compleja[editar]

Existe una relación importante entre la exponenciacion de numero complejos y las funciones trigonométricas según la formula de Euer

Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\qquad \operatorname {sen} x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

https://www.youtube.com/watch?v=uMPx37LRI2E