martes, 11 de junio de 2019

Gráfica de las funciones trigonométricas.

Definición de círculo trigonométrico

El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0)

Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de un punto en el círculo unitario llamado punto circular. Para eso, luego, localizamos el 0 en la recta numérica de manera que coincida con el punto (1, 0) en la unidad del círculo.

Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es, entonces, el eje real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de las manecillas del reloj. De manera, que cada número real de la recta real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario.

Funciones de ángulos de cualquier magnitud

Variación y gráficas de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante)

Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las razones o relaciones entre sus lados.

Las funciones trigonométricas son algunas aplicaciones que nos ayudan en la resolución de triángulos rectángulos
Un triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo consiste en calcular tres de los elementos cuando se conocen los otros tres, siempre que uno de ellos sea un lado.

Gráficas de las funciones trigonométricas

Si queremos representar en forma gráfica una función trigonométrica tomamos los valores de la variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas, obteniendo así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que será la representación gráfica de la función.

Uso de la función seno: ésta se usa cuando en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto, o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el cateto opuesto al ángulo dado.
Uso de la función coseno: si en un triángulo rectángulo conocemos un ángulo agudo y el cateto adyacente, o un ángulo agudo y la hipotenusa.
Podemos calcular el cateto adyacente al ángulo dado y la hipotenusa usando esta función.
Uso de la función tangente: si en un triángulo rectángulo conocemos un cateto y el ángulo adyacente a él podemos calcular el otro cateto.
Uso de la función cotangente: por lo tanto en todo triángulo rectángulo si conocemos un cateto y su ángulo opuesto podemos calcular el valor del otro mediante ésta.
Uso de la función secante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario que en la función coseno.
Uso de la función cosecante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario a la función seno.

https://www.youtube.com/watch?v=Dkdxks2ifBs

Ecuaciones exponenciales

Es imprescindible conocer las propiedades de las potencias ya que nos permiten simplificar las ecuaciones. Generalmente, escribiremos los números enteros de las ecuaciones en su forma de potencia.

Ecuación básica

La ecuación por la que empezamos es una igualdad entre una exponencial y un número entero que puede escribirse como una potencia con la misma base que la exponencial.
Por ejemplo, la ecuación

5^{x} = 125

puede escribirse como

5^{x} = 5^{3}

Teniendo en cuenta que dos potencias con la misma base son iguales si, y solamente si, sus exponentes son iguales, la solución de la ecuación

5^{x} = 5^{3}

x = 3

Ecuación 1

Resolver la ecuación igualando exponentes de potencias con base común:

Explicamos y resolvemos ecuaciones exponenciales cada vez más complejas. Las primeras ecuaciones que trabajamos son las que se resuelven fácilmente igualando exponentes, las siguientes son las que precisan un cambio de variable y las últimas son las que se resuelven por logaritmos. También, veremos cómo resolver una ecuación exponencial con raíces. ESO.

Solución

A veces, también tendremos que escribir las bases de las exponenciales como potencias. Por ejemplo, en la ecuación

escribimos 16 como la potencia

2^{4}

y la base de la exponencial

4^{x}

como

4 = 2^{2}

para tener bases comunes:

Si tenemos números, potencias o exponenciales que multiplican a las exponenciales, podemos simplificarlas aplicando las propiedades de las potencias.
Por ejemplo,

si tenemos $2 \cdot 2^{x}$

, eliminamos el 2 de la izquierda escribiendo +1 en el exponente:

si tenemos

4 \cdot 2^{x}

, eliminamos el 4 de la izquierda escribiendo +2 en el exponente:

$4·2^x = 2^{x+2}$

Ecuación 2

Resolver la ecuación escribiendo potencias cuyas bases sean iguales y números primos:

Ecuación 3

Resolver siguiendo los ejemplos anteriores:

Cambio de variable

Cuando en los exponentes tenemos coeficientes en la incógnita, podemos aplicar un cambio de variable. Normalmente, será suficiente un cambio como

2^{x} = t

3^{x} = t

(la base dependerá de las exponenciales de la ecuación).
Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación, aplicaremos el cambio de variable

2^{x} = t

y obtendremos una ecuación de segundo grado:

Las soluciones de la ecuación de segundo grado son

Como

t = 2^{x}

, tenemos

La primera ecuación,

2^{x} = - 4

no tiene solución real (porque la potencia de un número positivo no puede ser negativo).
De la segunda ecuación ,tenemos que

x = 1

Ecuación 4

Resolver mediante el cambio de variable

t = 3^{x}

Ecuación 5

Resolver mediante el cambio de variable

t = 7^{- x}

Ecuación exponencial con raíces

Como las raíces son potencias con fracciones en los exponentes, podemos encontrar ecuaciones exponenciales con signos radicales. Las resolveremos prácticamente del mismo modo.
Hay que recordar que

$fracción en el exponente: a^(m/n) = raíz n-ésima de a^m$

Por ejemplo, resolvemos la siguiente ecuación que tiene la incógnita en una raíz:

Escribimos la raíz y el número 16 como potencias:

Para resolver la ecuación anterior, pasamos

x - 1

multiplicando al otro lado:

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

La ecuación exponencial tiene dos soluciones:

x = 3

x = - 1

Ecuación 6

Resolver escribiendo las raíces como potencias:

Soluciones logarítmicas

Si no tenemos potencias con la misma base, la solución de la ecuación suele ser un logaritmo. Para trabajar estas ecuaciones, tenemos que utilizar las propiedades de los logaritmos.
La definición del logaritmo de base

b

En otras palabras, el logaritmo en base

b

del número

a

es el número al que hay que elevar

b

para obtener

a

. Por ejemplo, el logaritmo en base 2 de 8 es 3 porque 2 elevado a 3 es 8:

La solución de la ecuación

3^{x} = 5

es el número al que hay que elevar 3 para obtener 5, es decir, es precisamente el logaritmo en base 3 de 8 (aplicar logaritmos en ambos lados de la igualdad):

Otra forma de entender lo anterior es:
Como

3^{x}

debe ser igual a 5, entonces el logaritmo en base 3 de

x

debe ser igual al logaritmo en base 3 de 5:

El último paso se debe a la definición del logaritmo: el logaritmo en base 3 de

3^{x}

es el número al que hay que elevar 3 para obtener

3^{x}

Ecuación 7

Resolver mediante logaritmos en base 2:

Solución

También, podemos escoger un logaritmo en base distinta a las bases de las exponenciales. Por ejemplo, aplicamos logaritmo en base 10 para resolver la siguiente ecuación:

En adelante, si no escribimos la base de un logaritmo es porque ésta es 10.

Ecuación 8

Resolver la ecuación exponencial siguiente aplicando un cambio de variable (primero) y logaritmos en base 2 (después):

Ecuación 9

Resolver mediante logaritmos en base 5:

https://www.youtube.com/watch?v=v-ywxicyECU

lunes, 10 de junio de 2019

Función Exponencial

Función logarítmica

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando a > 1, entonces es una función creciente.

Dibujo de la gráfica de una función logarítmica.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Dibujo de la gráfica de una función logarítmica como inversa de la función exponencial

Y, cuando 0 < a < 1:

Dibujo de la gráfica de una función logarítmica como inversa de la función exponencial con a menor que 1

Características

ANUNCIOS

Dominio:
El dominio son todos los números reales positivos.
Recorrido:
El recorrido son todos los números reales.
Derivada de la función logarítmica:
Las funciones logarítmicas son continuas.
Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.
La imagen de 1 siempre es 0 y la imagen de a es 1.

Así pues, las funciones logarítmicas siempre pasan por los puntos (1 , 0) y (a , 1).
La función logarítmica es inyectiva.

Propiedades

Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

Función logarítmica del producto:
Función logarítmica de la división:
Función logarítmica del inverso multiplicativo:
Función logarítmica de la potencia:

Logaritmos

Sean dos números reales a y b, siendo a ≠ 1. El logaritmo en base a de b es el elemento al que hay que elevar el número a para dé como resultado el número b.

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, ya que siendo a = 3 y b = 9, el número al que hay que elevar 3 para que dé 9 es 2, 3² = 9.

Cuando el logaritmo es en base 10 (a = 10), se llama logaritmo decimal y no se suele escribir la base: f(x) = log x. También se llaman algoritmos comunes.

Normalmente, cuando no se especifica la base, se entiende como función logarítmica la que tiene de base el número e(a = e = 2,7182818…). En este caso se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural) y suele escribirse: f(x) = ln x.

Ejemplo)

función logarítmica con a = 2, definida por la función:

Dibujo de la gráfica de un ejemplo de función logarítmica.

La función es continua en todos los números reales positivos.

Como a = 2 > 1, la función es creciente.

Como podemos ver en su gráfica, la función pasa por los puntos (1 , 0) y (2 , 1).